华图GCT2014(硕士研究生考试)真题模拟题归类解析及知识点清单:数学分册（2014年最新版） 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子版 mobi 在线

　　系统、全面、深入剖析历年真题，考试知识点一览无余

近十一年(2003—2013年)的考试真题+考点,不仅讲解真题，更归纳考点，梳理知识清单，为考生指明高效复习、应试取胜的方向。

精辟阐明解题思路，全面展现题型特点

“归类解析及知识点清单”对历年真题和自测试题都进行了详细的解析，尤其是对解题思路和题型特点都作了深入和细致的分析。考生在作答本套书的试题时，要坚持独立思考、自主分析，独立作出解答，然后才去对照答案，否则起不到模拟测试的作用。此外，要学会不断归纳总结。对于平时做错的试题，要找出症结所在，以便下次不再犯同样的错误。

作为命题成果的集合，本套书中的试题可以反复练习，以便考生掌握试题的重要知识点、题型套路及解题技巧。

本套书依据作者多年的辅导经验，诠释GCT的技巧，旨在让广大考生能够在有限的时间内，正确把握考试要领，紧紧抓住考试的重点环节，进行全真的试题模拟，做到事半功倍。

第一部分　GCT数学考试分析

　一、 基本考情分析

　二、 数学应试技巧分析

　三、 备考与应试策略

第二部分　历年真题考点归类与自测

　第一编　算术

　　第一章　算术

　　　考点1: 特殊运算法则

　　　考点2: 整数和小数四则混合运算

　　　考点3: 分数与百分数

　　　考点4: 比例的计算

　　　考点5: 比的概念与计算

　　　考点6: 数的整除

　　　考点7: 算术平均值

　　　考点8: 素数与合数

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　第二编　初等代数

　　第二章　数和代数式

　　　考点1: 数轴与绝对值

　　　考点2: 复数的运算与模

　　　考点3: 共轭复数

　　　考点4: 复数的辐角

　　　考点5: 因式分解

　　　考点6: 整式和分式的加减运算与恒成立的条件

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第三章　方程和方程组

　　　考点1: 一元一次方程的应用与求解

　　　考点2: 一元二次方程的求解与韦达定理

　　　考点3: 二元一次方程组及其求解

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第四章　不等式

　　　考点1: 数的比较与不等式

　　　考点2: 不等式的建立和求解

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第五章　集合、 映射和函数

　　　考点1: 集合的概念与运算

　　　考点2: 函数的性质

　　　考点3: 二次函数及其图像

　　　考点4: 函数的定义域

　　　考点5: 函数图像的对称性

　　　考点6: 分段函数与复合函数

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第六章　数列、 数学归纳法

　　　考点1: 数列及其通项公式

　　　考点2: 等差数列

　　　考点3: 等比数列

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第七章　排列、 组合、 二项式定理和古典概率

　　　考点1: 排列和组合的概念与计算

　　　考点2: 古典概型的概率计算

　　　考点3: 独立事件与概率计算

　　　考点4: 伯努利试验的概率计算

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　第三编　几何与三角学

　　第八章　常见的几何图形

　　　考点1: 三角形的性质与计算

　　　考点2: 四边形的性质与计算

　　　考点3: 圆的性质与计算

　　　考点4: 长方体和球体的性质与计算

　　　考点5: 圆柱体的性质与计算

　　　考点6: 圆锥体的性质与计算

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第九章　三角学

　　　考点1: 三角函数值的计算

　　　考点2: 解三角形

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第十章　平面解析几何

　　　考点1: 圆

　　　考点2: 平面距离和空间距离求解

　　　考点3: 斜率和直线方程

　　　考点4: 双曲线

　　　考点5: 椭圆

　　　考点6: 抛物线

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　第四编　一元函数微积分

　　第十一章　极限与连续

　　　考点1: 函数的极限及其性质

　　　考点2: 函数极限与数列极限的关系及其计算

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第十二章　一元函数微分学

　　　考点1: 导数的物理意义和几何意义

　　　考点2: 函数的求导运算

　　　考点3: 函数极值与曲线拐点的判定

　　　考点4: 曲线的渐近线

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第十三章　一元函数积分学

　　　考点1: 定积分的几何意义与应用

　　　考点2: 定积分的计算与方法

　　　考点3: 变上限积分函数

　　　考点4: 不定积分的计算

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　第五编　线性代数

　　第十四章　行列式

　　　考点1: 行列式的展开

　　　考点2: 行列式的性质

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第十五章　矩阵

　　　考点1: 矩阵的转置﹑乘法运算和方阵的行列式

　　　考点2: 可逆矩阵﹑伴随矩阵及其求解

　　　考点3: 矩阵的秩

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第十六章　向量

　　　考点1: 向量的基本运算

　　　考点2: 向量的线性相关性

　　　考点3: 向量组的极大无关组

　　　考点4: 向量组的秩

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第十七章　线性方程组

　　　考点1: 非齐次线性方程组有无解的判定

　　　考点2: 齐次线性方程组的解向量﹑基础解系与系数矩阵的秩

　　　考点3: 齐次线性方程组有无非零解的判定

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

　　第十八章　矩阵的特征值和特征向量

　　　考点1: 矩阵的特征值与特征向量及其求解

　　　考点2: 矩阵的相似关系和对角化

　　　十一年真题考点归纳

　　　考点自测

　　　考点自测答案与解析

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　　第一部分

　　GCT数学考试分析

　　一、基本考情分析

　　GCT入学资格考试数学部分的考试以数学基础知识为背景，重点考查考生的基本数学素养及对基本数学概念的理解，考查考生逻辑思维能力、数学运算能力、空间想象能力以及分析解决问题的能力。数学试题由五部分内容组成：算术、初等代数、几何与三角学、一元函数微积分、线性代数。考试题目共25个，考试时间45分钟。

　　GCT入学考试数学部分有如下的特点：

　　第一，内容繁杂，综合性强。考试内容囊括算术、初等代数、几何与三角学、一元函数微积分以及线性代数的基础知识，包括小学、初中、高中以及大学的数学知识。

　　第二，考试时间很紧张。要在45分钟内解决25道题，平均每道试题的解题时间不到2分钟。

　　二、数学应试技巧分析

　　著名数学家、教育家G.波利亚（GPolya）说：“解题是智力的特殊成就，而智力乃是人类的天赋。因此，解题可以被认为是人类最富有特征性的活动。”本书给GCT入学资格考生提供了锻炼自己解题能力和测验自己数学水平的机会。在看本书试题时，应该先自己动手做题，然后将自己所得的结果与书中的答案加以比较，看自己哪些做对了、哪些做错了，为什么会做错。建议考生把本书的全部试题做2～3遍，应该做到对所有的题目一见到就能够熟练、正确地解答出来。

　　数学考试要在45分钟内完成，时间是很紧张的。考生如果能在牢固掌握基础知识的基础上，掌握一定的解题技巧，必将大大提高解题速度。下面就一些比较典型的题型，介绍几种解题方法和技巧。当然，这些解题方法并非具有通用性，考生应该具体情况具体分析。

　　1．结合图形解题，一目了然

　　【例1】要使方程3x2+（m-5）x+m2-m-2=0的两个实根分别满足0＜x1＜1和1＜x2＜2，实数m的取值范围是（）。

　　A．-2＜m＜-1B．-4＜m＜-1C．-4＜m＜-2D．-3＜m＜1

　　【技巧分析】这里主要考查二次函数（方程）的性质。如果用一元二次方程根与系数的关系解题，比较繁琐，我们不妨结合图形解题。

　　图1

　　解：如图1所示，设

　　f（x）=3x2+（m-5）x+m2-m-2

　　则f（x）开口向上，与x轴交于（x1，0）和（x2，0）两点，有不等式组f（0）＞0f（1）＜0f（2）＞0，从而有

　　m2-m-2＞0

　　m2-4＜0

　　m2+m＞0

　　答案：A。

　　【例2】设φ（x）是x到离x最近的整数的距离，求∫1000φ（x）dx。

　　【技巧分析】此题至少有两种解法。直接用积分的方法也能算出答案，但是比较繁琐，如果借助于图形，答案就一目了然了。其实所求积分就是如图2所示的100个三角形的面积之和。

　　解法1：如图所示，

　　图2

　　∫1000φ（x）dx=100×025=25。

　　解法2：

　　φ（x）=x-i，i≤x＜i+05i+1－x，i+05≤x＜i+1

　　∫1000φ（x）dx=∑99i=0∫i+1iφ（x）dx

　　=

　　∑99i=0∫i+0.5i（x-i）dx+∫i+1i+

　　05（i+1-x）dx

　　=25。

　　2．典型的比例问题，借助比例系数求解

　　【例3】设1x∶1y∶1z=4∶5∶6，则使x+y+z=74成立的y值是（）。

　　A．24B．36C．743D．372

　　【技巧分析】这是很典型的比例问题，一般的题是两个数值之间的比例问题，这里是三个数值之间的比例问题，按照1x，1y，1z各自的比例直接计算此题，不如借助于比例系数计算来得快。

　　解：令1x4=1y5=1z6=k

　　有x=14ky=15kz=16k

　　根据题意有14k+15k+16k=74，解得k=1120

　　所以y=15k=24

　　答案：A。

　　3．直观判断常数项

　　在判断n值给定的情况下，二项展开式是否存在常数项的问题时，用直接判断法比代入条件验证结论要简便得多，下面结合例题进行分析。

　　【例4】当（）时，4x－13xn有常数项。

　　A．n=1B．n=2

　　C．n=4D．n=7

　　【技巧分析】二项展开式中，位于分母的指数为13，位于分子的指数是14，它们的比值为34，3+4=7，只有当n=7的整数倍时，展开式才存在常数项。

　　答案：D。

　　4．等价变形，运用转换法

　　【例5】设实数x，y符合等式x2-4xy+4y2+3x+3y-6=0，则x+y的最大值为（）。

　　A．32B．233

　　C．23

　　D．32

　　【技巧分析】把x+y视作一个整体来解题，有些麻烦，问题比较复杂。但是如果能将原等式进行等价变换，则会“柳暗花明”。

　　解：对原式作等价变形，有

　　3（x+y）=6-（x-2y）2

　　可得x+y=63-13（x-2y）2

　　由（x-2y）2≥0

　　可得13（x-2y）2≥0

　　所以x+y≤63=23

　　答案：C。

　　5．运用待定系数法求解

　　【例6】已知x4-6x3+ax2+bx+4是一个二次三项式的完全平方式，则a，b的值分别为（）。

　　A．a=13，b=-12或者a=5，b=12B．a=6，b=1

　　C．a=-6，b=4D．a=13，b=-12

　　【技巧分析】此类题采用待定系数法就比较简单，直接根据未知的系数来推算答案是比较麻烦的。

　　解：设原式=（x2+Ax+B）2，有

　　x4-6x3+ax2+bx+4=x4+2Ax3+（A2+2B）x2+2ABx+B2

　　得2A=-6A2+2B=a2AB=bB2=4

　　解得A=-3，B=±2

　　当B=-2时，有a=5，b=12；B=2时，有a=13，b=-12

　　答案：A。

　　6．求不等式解集：“根排序法”

　　【例7】不等式x2－4x+3x+5≤0的解集是（）。

　　A．（-∞，-5）∪［1，3］

　　B．（-∞，-5）∪（1，3）

　　C．（-5，3）

　　D．（-∞，8）

　　【技巧分析】直接对不等式求解显然很麻烦，我们用“根排序法”会很轻松。

　　解：对原不等式作同解变形

　　得（x-1）（x-3）（x+5）≤0x≠-5

　　令（x-1）（x-3）（x+5）=0，有x1=-5，x2=1，x3=3，将x1，x2，x3从左到右依大小进行排序，得

　　-5+1+3

　　-+-+

　　由上面的排序可得到答案：不等式的解集是（-∞，-5）∪［1，3］

　　答案：A。

　　7．“特值代入法”，准确而又高效的技巧

　　【例8】C1n+3C2n+32C3n+…+3n-1Cnn的值为（）。

　　A．13（4n-1）B．4nC．3×4nD．4n3-1

　　【技巧分析】本题可用代公式的方法计算出答案，但是，在考场上用“特值代入法”，准确而又高效，可以节省大量的时间。请看下面两种解法，很明显，解法2是考生所愿意采纳的方法。

　　解法1：原式=13（3C1n+32C2n+33C3n+…+3nCnn）

　　=13(30C0n+3C1n+32C2n+…+3nCnn）－30C0n

　　=13（1+3）n-1

　　=13（4n-1）

　　答案：A。

　　解法2：用n=1代入，正如A选项，故为正确答案。如果不放心，用n=2代入，也成立。即可知，只有A选项符合。

　　答案：A。

　　【例9】若x=a2-bc，y=b2-ac，z=c2-ab，a、b、c是不完全相等的任意实数，则x、y、z（）。

　　A．至少有一个大于0B．都大于0

　　C．至少有一个小于0D．都不小于0

　　【技巧分析】像这种考题，按照规矩的方法，花一些时间可以求出答案。考生可以比较下面两种解题方法，当然解法1比较简单，但考生在紧张的状态下不一定想得到，所以用解法2是快速而又保险的做法。

　　解法1：x+y+z=a2+b2+c2-ac-bc-ab=12（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2

　　因为a、b、c不完全相等，所以有

　　x+y+z=12［（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2］＞0

　　x、y、z中至少有一个大于0。

　　答案：A。

　　解法2：不妨令a=0，b=1，c=2，很快排除B、D。再令a=1，b=0，c=-1，又排除C。

　　只有A选项正确。

　　答案：A。

　　【例10】设A=101020101，则An=（）。

　　A．2nAB．2n-1AC．2n-2AD．0

　　【技巧分析】老实地算，仔细一点能算正确，否则容易出错，下面的解法2省时又正确，很简便。在考场上，考生若善于灵活运用这种“特值代入法”，定会大有裨益。

　　解法1：A=101020101，A2=202040202=2A

　　A3=2A2=22A，…，An=2n-1A，所以归纳推理出一般规律，故B选项正确。

　　答案：B。

　　解法2：不妨设n=1，很快排除A、C、D，直接选择B，5秒钟内得出答案。

　　答案：B。

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