Godel’s Proof 哥德尔证明 ISBN 9780415355285 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子版 mobi 在线

In 1931 the mathematical logician Kurt Godel published a revolutionary paper that challenged certain basic assumptions underpinning mathematics and logic. A colleague of Albert Einstein, his theorem proved that mathematics was partly based on propositions not provable within the mathematical system and had radical implications that have echoed throughout many fields. A gripping combination of science and accessibility, Godel’s Proof by Nagel and Newman is for both mathematicians and the idly curious, offering those with a taste for logic and philosophy the chance to satisfy their intellectual curiosity.

--This text refers to an out of print or unavailable edition of this title.

ACKNOWLE DG M ENTS

1 Introduction

2　The Problem of Consistency

3　Absolute Proofs of Consistency

4　The Systematic Codifcation of Formal Logic

5　An Example of a Successful Absolute Proof of Consistency

6　The Idea of Mapping and its Use in Mathematics

7　Godel's Proofs

　A Godel numbering

　B The arithmetization ofmeta-mathematics

　C The heart of GOdel's argument

8　Concluding Reflections

NOTES

BRIEF BIBLIOGRAPHY

INDEX

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哥德尔的天才之处，就在于他认识到数字是体现任何种类的模式的普遍中介，并且正因为如此，表面上看来只是有关数字的命题，事实上能够被看作是有关其它领域的命题的编码。换句话说，哥德尔跨越了数论的表面层次，认识到数字能够代表任何种类的结构。在计算机问题上应用哥德尔的想法，可以看到，由于计算机说到底是操作数字的，而数字又是体现任何种类的模式的普遍中介，因而计算机能对应任意类型的模式，不管它们是逻辑的还是非逻辑的，是一致性的还是非一致性的。简言之，当你站得离成千上万内部相互联系着的各种数字模式足够远时，你就能看出其它领域的模式，就像肉眼观看一个显示屏上的像素，能从中看出一张熟悉的脸来，而非 0 和 1 组成的阵列一样。

这种哥德尔式的对待计算机的方式，在现代世界上已通行到了这样的程度，以至于除了专家以外，人们对计算机的数字基础干脆就是视而不见。普通人日常用计算机进行文字处理，玩游戏，通信，看动画，设计，画图等等，根本就不去想在硬件深部进行的基本算术运算。认知科学家，指望他们的计算机的算术硬件既不犯错也无创造性，而给出“一组固定的指令”来模拟人的出错及人的创造。至少在原则上，没有理由认为不能用计算机模拟出创造性的数学思维过程。但是，在二十世纪五十年代，还很难看出计算机的这种潜力。然而，免不了有讽刺意味的是，这样一本专门赞颂哥德尔对数字在总体上能包揽所有模式的洞见的书，其主要的哲学结论中竟然没有体现这种洞见，因而未能看到这种“演算机械”能复制出所有的可以想见的模型样式，甚至包括创造性的人类思维在内。

数学家们构建的形式系统，属于标着“数学”这个名称的文档；而对这个系统的描述、讨论和推测，属于标着“元数学”这个名称的文档。

然而，对于像《数学原理》这样的系统，其词汇和形式规则足可用以表达整个数论而不仅是其中一个片断，希尔伯特的有限方法是不是强有力得足以证明它的一致性呢？构建这个证明的反复嚐试均遭失败，直到1931年发表的哥德尔的论文最终证明，所有严格遵循希尔伯特原来方案的努力是不可能取得成功的。

哥德尔的第二个结论更叫人吃惊和更具革命性，因为它表明公理方法的能力有着根本的局限。哥德尔证明了，《数学原理》或任何其它能在其中发展出算术的系统，实质上是不完全的。换句话说，在任何一致的数论形式系统中，都存在此系统无法推导出的真的数论命题。

在计算机问题上应用哥德尔的想法，可以看到，由于计算机说到底是操作数字的，而数字又是体现任何种类的模式的普遍中介，因而计算机能对应任意类型的模式，不管它们是逻辑的还是非逻辑的，是一致的还是非一致的。简言之，当你站得离成千上万内部相互联系着的各种数字模式足够远时，你就能看出其他领域的模式，就像肉眼看一个显示屏上的像素，能从中看出一张熟悉的脸，而非0和1组成的阵列一样。

所以数学虽然是一门有关模式和规则的科学，但是从其本性来讲却并不是一个总体模式或总体规则而已。数学自身的本质在于，虽然它包括模式，而模式又构成模式（如此这般以致无穷），然而总会有不能预见到的在新的层次上的模式；新的层次上的模式总是会使人感到意外，总是好像在回避先前已有的思维方式。

1931年，一本德国的科学期刊上发表了一篇不算很长的论文，其标题很令人费解，叫做“论《数学原理》及相关系统的不可判定命题”。

这就是罗素所说的警句的意思：纯数学是一门我们不知正在谈论的是什么，或者不知所谈的是否为真的一门学科。

像这样一种严格的

这个困难在于这样一个事实，即用于解释公理的模型都包括无穷多的元素。这样就不可能通过有限的观察来遍历整个模型；因而对公理本身的真理性就会存疑。

类可被分为两种：一种是本身不是其成员的类，一种是本身是其成员的类。一个类叫做“常规”的，当且仅当它本身不是其自身的成员；否则就称为“非常规”的。

定义“N”为所有常规类所组成的类。我们的问题是，N本身是否是常规类。

书籍介绍

'Nagel and Newman accomplish the wondrous task of clarifying the argumentative outline of Kurt Godel's celebrated logic bomb.' - "The Guardian". In 1931 the mathematical logician Kurt Godel published a revolutionary paper that challenged certain basic assumptions underpinning mathematics and logic. A colleague of physicist Albert Einstein, his theorem proved that mathematics was partly based on propositions not provable within the mathematical system. The importance of Godel's Proof rests upon its radical implications and has echoed throughout many fields, from maths to science to philosophy, computer design, artificial intelligence, even religion and psychology. While others such as Douglas Hofstadter and Roger Penrose have published bestsellers based on Godel's theorem, this is the first book to present a readable explanation to both scholars and non-specialists alike. A gripping combination of science and accessibility, "Godel's Proof" by Nagel and Newman is for both mathematicians and the idly curious, offering those with a taste for logic and philosophy the chance to satisfy their intellectual curiosity.